Integral permukaan

generalisasi dari beberapa integral untuk (kemungkinan) permukaan melengkung
(Dialihkan dari Permukaan integral)

Dalam matematika, Permukaan integral adalah generalisasi dari beberapa integral untuk integrasi di atas permukaan. Ini dapat dianggap sebagai analog integral lipat dari integral garis . Dengan adanya suatu permukaan, seseorang dapat mengintegralkan bidang skalar (yaitu, fungsi posisi yang mengembalikan skalar sebagai nilai) di atas permukaan, atau bidang vektor (yaitu, fungsi yang mengembalikan vektor sebagai nilai). Jika suatu daerah R tidak datar, maka itu disebut permukaan seperti yang diperlihatkan dalam ilustrasi.

Permukaan integral memiliki aplikasi dalam fisika, khususnya dalam teori elektromagnetisme klasik.

Permukaan integral
Definisi permukaan integral bergantung pada pemisahan permukaan menjadi elemen permukaan kecil.
Ilustrasi elemen permukaan tunggal. Elemen-elemen ini dibuat sangat kecil, dengan proses pembatas, sehingga mendekati permukaan.

Integral permukaan bidang skalar

sunting

Untuk menemukan rumus eksplisit untuk integral permukaan di atas permukaan S, kita perlu membuat parameter S dengan menentukan sistem koordinat lengkung pada S, seperti lintang dan bujur pada bola . Biarkan parameterisasi seperti itu menjadi x ( s, t ), di mana ( s, t ) bervariasi di beberapa daerah T di bidang . Kemudian, integral permukaan diberikan oleh [1][2]

 

di mana ekspresi antara bar di sisi kanan adalah besarnya dari produk silang dari turunan parsial dari x (s, t), dan dikenal sebagai permukaan elemen . Integral permukaan juga dapat dinyatakan dalam bentuk ekivalen

 

dimana g adalah determinan bentuk fundamental pertama dari pemetaan permukaan x ( s, t ).[3][4]

Contohnya, jika kita ingin mencari luas permukaan grafik dari beberapa fungsi skalar, katakanlah  , kita punya

 

rumus di atas adalah   . Yang seperti itu  , dan   . Jika

 

Berikut salah satu merupakan rumus standar untuk luas permukaan yang dijelaskan dengan cara ini. Seseorang dapat mengenali vektor pada baris kedua terakhir di atas sebagai vektor normal ke permukaan.

Perhatikan, bahwa karena adanya perkalian silang, rumus di atas hanya berfungsi untuk permukaan yang tertanam dalam ruang tiga dimensi.

Hal ini dapat dilihat sebagai integrasi bentuk volume Riemannian pada permukaan berparameter, di mana tensor metrik diberikan oleh bentuk dasar pertama permukaan.

Permukaan integral bidang vektor

sunting
A curved surface   with a vector field   passing through it. The red arrows (vectors) represent the magnitude and direction of the field at various points on the surface
Surface divided into small patches   by a parameterization of the surface
The flux through each patch is equal to the normal (perpendicular) component of the field   at the patch's location   multiplied by the area  . The normal component is equal to the dot product of   with the unit normal vector   (blue arrows)
The total flux through the surface is found by adding up   for each patch. In the limit as the patches become infinitesimally small, this is the surface integral
 

Pertimbangkan bidang vektor v pada permukaan S, yaitu untuk setiap x dalam S, v (x) adalah vektor.

Integral permukaan dapat didefinisikan secara komponen sesuai dengan definisi integral permukaan dari suatu bidang skalar; hasilnya adalah vektor. Ini berlaku misalnya dalam ekspresi medan listrik di beberapa titik tetap karena permukaan bermuatan listrik, atau gravitasi di beberapa titik tetap karena selembar material.

Alternatifnya, jika kita mengintegrasikan komponen normal bidang vektor di atas permukaan, hasilnya adalah skalar, biasanya disebut fluks yang melewati permukaan. Bayangkan kita memiliki fluida yang mengalir melalui S, sehingga v (x) menentukan kecepatan fluida di x. Fluks didefinisikan sebagai jumlah fluida yang mengalir melalui S per satuan waktu.

Ilustrasi ini menyiratkan bahwa jika bidang vektor tangen ke S di setiap titik, maka fluksnya nol karena fluida hanya mengalir di paralel ke S, dan tidak masuk maupun keluar. Ini juga menyiratkan bahwa jika 'v' tidak hanya mengalir di sepanjang S, yaitu, jika v memiliki komponen tangensial dan normal, maka hanya komponen normal yang berkontribusi fluks. Berdasarkan alasan ini, untuk mencari fluks, kita perlu mengambil perkalian titik dari v dengan satuan permukaan normal n menjadi S di setiap titik, yang akan memberi kita bidang skalar, dan mengintegrasikan bidang yang diperoleh seperti di atas. Kami menemukan rumusnya

 

Perkalian silang di sisi kanan ekspresi ini adalah permukaan normal (tidak harus unital) yang ditentukan oleh parametrisasi.

Rumus ini mendefinisikan integral di sebelah kiri (perhatikan titik dan notasi vektor untuk elemen permukaan).

Kami juga dapat menafsirkan ini sebagai kasus khusus untuk mengintegrasikan 2 bentuk, di mana kami mengidentifikasi bidang vektor dengan 1 bentuk, dan kemudian mengintegrasikan Hodge dual di atas permukaan. Ini sama dengan mengintegrasikan   di atas permukaan yang terbenam, di mana   adalah bentuk volume yang diinduksi pada permukaan, diperoleh dengan perkalian interior dari metrik Riemannian dari ruang ambien dengan normal luar permukaan.

Sintegral permukaan dari bentuk-2 diferensial

sunting

Bila

 

menjadi diferensial 2-bentuk yang didefinisikan pada permukaan S, dan jika

 

menjadi parameter pelestarian orientasi dari S dengan   di D. Mengubah koordinat dari   untuk  , bentuk diferensial berubah sebagai

 
 

Begitu   berubah menjadi  , dimana   menunjukkan determinan dari Jacobian dari fungsi transisi dari   pada  . Transformasi bentuk lainnya serupa.

Kemudian, Permukaan integral f pada S diberikan oleh

 

where

 

is the surface element normal to S.

Perhatikan bahwa integral permukaan bentuk-2 ini sama dengan integral permukaan bidang vektor yang memiliki komponen  ,   dan  .

Teorema yang melibatkan integral permukaan

sunting

Berbagai hasil yang berguna untuk integral permukaan dapat diturunkan menggunakan geometri diferensial dan kalkulus vektor, seperti teorema divergensi, dan generalisasinya, teorema Stokes.

Lihat pula

sunting

Referensi

sunting
  1. ^ "List of Calculus and Analysis Symbols". Math Vault (dalam bahasa Inggris). 2020-05-11. Diakses tanggal 2020-09-19. 
  2. ^ "Calculus III - Surface Integrals". tutorial.math.lamar.edu. Diakses tanggal 2020-09-19. 
  3. ^ Edwards, C. H. (1994). Advanced Calculus of Several Variables. Mineola, NY: Dover. hlm. 335. ISBN 0-486-68336-2. 
  4. ^ Hazewinkel, Michiel (2001). Encyclopedia of Mathematics. Springer. hlm. Surface Integral. ISBN 978-1-55608-010-4. 

Pranala luar

sunting