Integral garis

Integral tentu pada suatu medan skalar atau medan vektor di sepanjang suatu lintasan

Dalam matematika, integral garis adalah integral yang dihitung dengan mengevaluasi fungsi yang hendak diintegralkan sepanjang suatu lintasan.[1] Istilah integral kontur juga digunakan, walau istilah tersebut lebih sering digunakan untuk Integral garis pada bidang kompleks.

Fungsi yang akan diintegralkan dapat berupa medan skalar ataupun medan vektor. Nilai dari integral garis adalah jumlahan dari nilai medan pada semua titik pada kurva, dibobotkan dengan suatu fungsi skalar pada kurva (biasanya panjang busur, atau pada medan vektor, darab bintik dari medan vektor dengan vektor diferensial pada kurva). Pembobotan ini membedakan integral garis dengan integral yang lebih sederhana pada suatu selang. Banyak rumus sederhana dalam fisika (seperti definisi usaha ) memiliki versi kontinu dalam bentuk integral garis (dalam kasus ini, menghitung besar usaha yang dilakukan suatu benda yang bergerak dalam medan listrik atau medan gravitasi pada lintasan ).

Kalkulus vektor

sunting

Secara kualitatif, integral garis pada kalkulus vektor dapat dipandang sebagai suatu ukuran efek keseluruhan dari suatu medan tensor di sepanjang lintasan tertentu. Sebagai contoh, integral garis pada medan skalar (tensor rank 0) dapat diartikan sebagai luas daerah dibawah medan yang diukir oleh suatu lintasan. Hal ini dapat divisualkan sebagai permukaan yang dibentuk oleh fungsi   dan suatu lintasan   pada bidang-xy. Melalui visualisasi ini, nilai integral garis dari   ialah luasan dari "tirai" yang tercipta ketika titik-titik pada permukaan yang tepat di atas   diukir.

Integral garis pada medan skalar

sunting
 
Integral garis pada medan skalar   dapat dipandang sebagai luas daerah dibawah permukaan   sepanjang lintasan  

Definisi

sunting

Diberikan suatu

  1. Bilangan asli  
  2. Himpunan  , dan
  3. Medan skalar  

Integral garis di sepanjang lintasan mulus sesepenggal   didefinisikan sebagai   dengan   adalah sembarang fungsi parameter yang bersifat bijektif dari lintasan   sedemikian sehingga   dan   adalah ujung dari lintasan   dan  . Pada keseluruhan artikel ini, notasi   menyatakan norma Euklides.

Fungsi   disebut sebagai integran, lintasan   adalah domain pengintegralan, dan simbol   dapat diartikan sebagai panjang busur dari lintasan   (atau dengan kata lain, panjang diferensial dari  ). Integral garis pada medan skalar di sepanjang lintasan   tidak bergantung pada pemilihan parameterisasi fungsi   dari lintasan  .[2]

Saat   merupakan lintasan tertutup[3], simbol   seringkali digunakan untuk menekankan bahwa lintasan pengintegralannya merupakan lintasan tertutup.

Secara geometris, saat medan skalar   terdefinisi pada suatu bidang  , grafiknya merupakan suatu permukaan   pada ruang, dan integral garis memberikan luasan (bertanda) dari penampang lintang yang dibatasi oleh lintasan   dan grafik fungsi  .

Penurunan rumus

sunting

Integral garis pada medan skalar dapat dikonstruksikan dari jumlah Riemann menggunakan definisi dari fungsi  , lintasan  , serta fungsi parameter   dari lintasan  . Hal ini dapat dilakukan dengan menghampiri lintasan   menjadi lintasan poligonal. Secara matematis, maka selang   (yang merupakan daerah hasil dari parameterisasi fungsi  ) akan dipartisi menjadi   selang bagian   dengan panjang yang sama, yaitu   dengan  . Perhatikan bahwa   menyatakan vektor posisi dari titik ke-  pada selang  , dan   menyatakan panjang garis lurus yang menghubungkan   dan  . Oleh karena   menyatakan nilai fungsi   (yang berupa skalar) pada titik  , maka ekspresi   dapat diartikan sebagai luas bertanda dari persegi panjang dengan tinggi   dan lebar  . Dengan menggunakan konsep turunan fungsi bernilai vektor, maka   Akibatnya, diperoleh  

Integral garis pada medan vektor

sunting

Definisi

sunting

Diberikan suatu

  1. Bilangan asli  
  2. Himpunan  , dan
  3. Medan vektor  

Integral garis di sepanjang lintasan mulus sesepenggal   yang searah dengan   didefinisikan sebagai   dengan   menyatakan operasi darab bintik dan   adalah sembarang fungsi parameter reguler[4] dari lintasan   sedemikian sehingga   dan   adalah ujung dari lintasan   dan  .

Berdasarkan definisi di atas, maka integral garis pada medan skalar merupakan integral garis pada medan vektor, dimana vektornya selalu menyinggung lintasan pengintegralan.

Integral garis pada medan vektor tidak bergantung pada parameterisasi   dalam nilai mutlak, namun bergantung pada orientasi kurva. Lebih tepatnya, nilai integral garisnya akan berganti tanda saat orientasi parameterisasinya dibalik.[2]

Penurunan rumus

sunting
 
Lintasan sebuah partikel (yang berwarna merah) di sepanjang kurva pada medan vektor. Dimulai dari titik  , partikelnya menelusuri lintasan   di sepanjang medan vektor  . Hasil darab bintik (garis hijau) dari vektor singgung (panah merah) dengan medan vektor (panah biru) membentuk suatu luas daerah di bawah kurva, yang merupakan integral garis dari lintasan tersebut.

Dengan menggunakan definisi dari fungsi  , lintasan  , serta fungsi parameter   dari lintasan  , maka integral garis pada medan vektor dapat diturunkan dengan cara serupa seperti pada medan skalar, namun dengan tambahan operasi darab bintik. Hal ini dapat dilakukan dengan menghampiri lintasan   menjadi lintasan poligonal. Secara matematis, maka selang   (yang merupakan daerah hasil dari parameterisasi fungsi  ) akan dipartisi menjadi   selang bagian   dengan panjang yang sama, yaitu   dengan  . Perhatikan bahwa   menyatakan vektor posisi dari titik ke-  pada selang  , dan   menyatakan vektor perpindahan dari   menuju  . Oleh karena   menyatakan nilai fungsi   (yang berupa vektor) pada titik  , maka ekspresi   dapat diartikan sebagai kontribusi dari nilai vektor   yang searah dengan vektor perpindahan  . Dengan menggunakan konsep turunan fungsi bernilai vektor, maka   Akibatnya, diperoleh  

Bebas lintasan

sunting

Jika suatu medan vektor   merupakan gradien dari suatu medan skalar   (atau dengan kata lain, jika   merupakan medan vektor konservatif), yaitu   maka menurut kaidah rantai peubah banyak, turunan dari komposisi dari   dan   ialah   yang merupakan integran pada integral garis dari  . Lebih lanjut, jika diberikan suatu lintasan  , maka  

Dengan kata lain, integral dari   di sepanjang lintasan   hanya bergantung pada nilai   pada titik   dan  , dan tidak bergantung dengan lintasan yang menghubungkan kedua titik tersebut. Hal inilah yang menjadi alasan medan vektor konservatif disebut sebagai bebas lintasan.

Penerapan

sunting

Integral garis sangat banyak digunakan pada bidang ilmu fisika. Sebagai contoh, besar usaha yang dilakukan suatu partikel yang melintasi suatu lintasan   pada suatu medan gaya   ialah nilai integral garis dari   pada lintasan  .[5]

Aliran pada suatu lintasan

sunting

Diberikan suatu

  1. Himpunan  
  2. Medan vektor  , dengan  
  3. Lintasan  
  4. Fungsi parameter mulus sesepenggal  , dengan  

Fluks dari   di sepanjang lintasan   didefinisikan sebagai   dengan   menyatakan operasi darab bintik dan   menyatakan vektor normal yang searah jarum jam dari lintasan  .

Besar alirannya dihitung berdasarkan orientasi. Saat lintasan   diparameterkan dari   menuju   (dengan  ), maka alirannya dihitung positif ketika   berada pada sisi yang searah dengan jarum jam dari vektor kecepatan  .

Integral garis fungsi kompleks

sunting

Dalam analisis kompleks, integral garis didefinisikan dalam bentuk penjumlahan dan perkalian dari bilangan kompleks. Diberikan suatu

  1. Himpunan terbuka  
  2. Fungsi  
  3. Lintasan  
  4. Fungsi parameter   dengan  

Integral garis   dapat didefinisikan dengan mempartisi selang   (yang merupakan daerah hasil dari parameterisasi fungsi  ) menjadi   selang bagian   dengan panjang yang sama, yaitu   dengan  . Serupa seperti konstruksi integral Riemann pada garis bilangan real, nilai integral garis   adalah limit dari jumlah Riemann   saat   mendekati 0, dengan  

Jika turunan dari Fungsi parameter   bersifat kontinu (atau dengan kata lain,   merupakan fungsi yang terdiferensialkan secara kontinu), maka integral garisnya dapat dicari dengan integral dari fungsi bernilai riil:  

Integral garis terhadap diferensial konjugat kompleks   di sepanjang lintasan   didefinisikan sebagai[6]  

Integral garis dari fungsi kompleks dapat dicari dengan beberapa metode. Cara yang paling lugas adalah dengan memecah integral garisnya menjadi bagian riil dan bagian imajiner, sehingga permasalahannya akan menjadi perhitungan dua integral garis bernilai riil. Teorema integral Cauchy dapat digunakan untuk menyederhanakan perhitungan integral garis dari suatu fungsi holomorfik menjadi suatu integral garis yang lebih mudah untuk diselesaikan. Jika lintasan pengintegralannya merupakan lintasan tertutup dan terdapat titik singular pada daerah yang dilingkup oleh lintasan pengintegralannya, maka teorema residu dapat memberikan nilai integral garis yang hendak dicari berdasarkan titik singularnya.

Contoh

sunting

Diberikan fungsi   dan kontur   adalah lingkaran satuan yang berpusat pada   dan berlawanan arah jarum jam. Dengan menggunakan rumus Euler, maka lintasan   dapat diparameterkan sebagai  , dengan  . Akibatnya,  

Integral ini biasa digunakan sebagai langkah awal untuk membuktikan rumus integral Cauchy dan teorema residu.

Hubungan antara integral garis fungsi kompleks dengan integral garis pada medan vektor

sunting

Dengan memandang bilangan kompleks sebagai vektor berdimensi dua, integral garis dari fungsi bernilai kompleks   di sepanjang lintasan   memiliki bagian riil dan imajiner (berturut-turut) sama dengan integral garis dan integral fluks dari medan vektor yang bersesuaian dengan fungsi konjugat kompleks  . Lebih tepatnya, jika

  1.   memparameterkan lintasan  
  2.  , untuk suatu fungsi   dan  

maka dengan memilih   diperoleh  

Berdasarkan teorema Cauchy, integral pada ruas kiri bernilai nol ketika   merupakan fungsi holomorfik (memenuhi persamaan Cauchy-Riemann) untuk sembarang lintasan mulus tertutup  . Menurut teorema Green, ruas kanan akan bernilai nol ketika medan vektor   tidak berolak (nilai kerul dari   sama dengan nol) dan tidak termampatkan (nilai divergensi dari   sama dengan nol).

Lihat juga

sunting

Referensi

sunting
  1. ^ Kwong-Tin Tang (30 November 2006). Mathematical Methods for Engineers and Scientists 2: Vector Analysis, Ordinary Differential Equations and Laplace Transforms [Metode Matematis untuk Insinyur dan Ilmuwan 2: Analisis Vektor, Persamaan Diferensial Biasa, dan Transformasi Laplace] (dalam bahasa Inggris). Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-540-30268-1. 
  2. ^ a b Nykamp, Duane. "Line integrals are independent of parametrization" [Integral garis tidak bergantung pada parameterisasi]. Math Insight (dalam bahasa Inggris). Diakses tanggal September 18, 2020. 
  3. ^ Suatu lintasan disebut tertutup jika  , dengan  .
  4. ^ Secara matematis, maka   untuk setiap nilai  
  5. ^ "16.2 Line Integrals" [16.2 Integral Garis]. www.whitman.edu (dalam bahasa Inggris). Diakses tanggal 2020-09-18. 
  6. ^ Ahlfors, Lars (1966). Complex Analysis [Analisis Kompleks] (dalam bahasa Inggris) (edisi ke-2nd). New York: McGraw-Hill. hlm. 103. 

Pranala luar

sunting