Bola (geometri)

permukaan dari bola, yaitu analog dengan objek melingkar dalam dua dimensi, dimana "lingkaran" membatasi "disk"

Bola
Sebuah perspektif 3 dimensi dari bola
Grup simetri
Luas permukaan
Volume
Bola
Sebuah perspektif 3 dimensi dari bola
Grup simetri
Luas permukaan
Volume


Bola adalah objek geometri tiga dimensi yang serupa dengan objek melingkar dua dimensi, yaitu "lingkaran" adalah batas dari "cakram". Pada umumnya, bola didefinisikan sebagai himpunan titik yang memiliki jarak sama dari pusat bola ke permukaan bola. Jarak yang sama dalam bola bisa dikenal dengan jari-jari (radius) dan disimbolkan dengan huruf .[1] Ruas garis lurus terpanjang melalui bola, menghubungkan dua titik di permukaan bola, melewati pusat dan panjangnya dua kali jari-jari disebut sebagaidiameter.

Sementara di luar matematika istilah "bola" terkadang digunakan secara bergantian. Dalam matematika, perbedaan di atas dibuat dengan antara bola yang merupakan permukaan tertutup dua dimensi pembenaman dalam ruang Euklides tiga dimensi, dan bola yang merupakan bentuk tiga dimensi yang mencakup bola dan segala sesuatu di dalam bola (bola tertutup), atau, lebih sering, hanya titik di dalam, namun bukan di antara bola (bola terbuka). Ini sejalan dengan situasi dalam bidang, dimana istilah "lingkaran" dan "cakram" juga dapat dikacaukan.

Bola adalah objek fundamental dalam banyak bidang matematika. Bentuk bola dan hampir bulat juga muncul di alam dan industri. Gelembung seperti gelembung sabun berbentuk bola dalam keadaan seimbang. Bumi sering kali didekati sebagai bola dalam geografi, dan bola langit merupakan konsep penting dalam astronomi. Barang-barang yang diproduksi termasuk bejana tekan dan sebagian besar cermin dan lensa melengkung didasarkan pada bola. Bola menggelinding dengan mulus ke segala arah, sehingga sebagian besar bola yang digunakan dalam olahraga dan mainan berbentuk bola, begitu pula bantalan bola.

Persamaan dalam tiga dimensi

sunting
 
Dua jari-jari ortogonal (tegak lurus) dari suatu bola

Dalam geometri analitik, bola dengan pusat   dan jari-jari   adalah lokus titik   sedemikian rupa sehingga

 

Jika variabel  ,  ,  ,  , dan   adalah bilangan real dengan nilai   dan nilai titik tengah   didefinisikan sebagai:

 

Lalu persamaan

 

tidak memiliki poin nyata sebagai solusi jika   dan disebut persamaan bola imajiner. Jika  , satu-satunya solusi   adalah titik tengah bolah   dan persamaannya disebut persamaan titik bola. Terakhir, dalam kasus  ,   adalah persamaan bola yang pusatnya adalah   dan yang radiusnya adalah  .[1]

Jika   dalam persamaan di atas adalah nol maka   adalah persamaan suatu bidang. Dengan demikian, sebuah bidang dapat dianggap sebagai bola jari-jari tak terbatas yang pusatnya adalah titik tak terhingga.[2]

Titik-titik di bola dengan jari-jari   dan pusat   dapat diparameterisasi via

 [3]

Keliling   dapat dikaitkan dengan sudut yang dihitung dari arah   positif melalui pusat ke vektor radius, dan keliling   dapat dikaitkan dengan sudut yang dihitung dari arah   positif melalui pusat ke proyeksi vektor-jari-jari pada bidang  - .

Bola dari jari-jari yang berpusat di nol adalah permukaan integral dari bentuk diferensial berikut:

 

Persamaan ini mencerminkan bahwa vektor posisi dan kecepatan suatu titik,   dan  , yang berjalan di bola selalu ortogonal satu sama lain.

Sebuah bola juga dapat dibangun sebagai permukaan yang dibentuk dengan memutar lingkaran tentang semua diameternya. Karena lingkaran adalah jenis elips khusus, maka bola adalah jenis elips khusus revolusi. Mengganti lingkaran dengan elips yang diputar pada sumbu utamanya, bentuknya menjadi spheroid prolate; jika diputar terhadap sumbu minor, bentuknya akan menjadi sebuah spheroid oblate.[4]

Rumus bola

sunting

Luas permukaan

sunting

Luas permukaan pada bola yaitu.

 

Archimedes pertama kali memperoleh rumus ini[5] dari fakta bahwa proyeksi ke permukaan lateral dari silinder yang dibatasi adalah pengawet area.[6] Pendekatan lain untuk memperoleh rumus berasal dari fakta bahwa rumus tersebut sama dengan turunan rumus untuk volume sehubungan dengan   karena volume total di dalam bola jari-jari   dapat dianggap sebagai penjumlahan dari luas permukaan jumlah yang tidak terbatas dari cangkang bola dengan ketebalan sangat kecil yang ditumpuk secara konseptual di dalam satu sama lain dari jari jari   hingga jari jari  . Pada ketebalan sangat kecil perbedaan antara luas permukaan bagian dalam dan luar setiap cangkang yang diberikan sangat kecil, dan volume unsur pada jari-jari   hanyalah produk dari luas permukaan pada jari-jari   dan ketebalan sangat kecil.

Pada jari-jari tertentu  , volume tambahan ( ) sama dengan produk dari luas permukaan pada jari-jari ( ) dan ketebalan cangkang ( ):

 

Volume total adalah penjumlahan dari semua volume cangkang:

 

Dalam batas ketika ketebalan cangkang   mendekati nol [7] persamaan ini menjadi:

 

Masukkan   (lihat bagian rumus volume bola):

 

Mengambil turunan dari kedua sisi persamaan ini berdasarkan dengan   akan menghasilkan   sebagai fungsi  :

 

di mana   sekarang dianggap sebagai jari-jari bola yang tetap.

Atau, elemen luas pada bola diberikan dalam koordinat bola oleh  . Dalam Kordinat Kartesius, elemen luas adalah

 

Total luas dengan demikian dapat diperoleh dengan integral:

 

Bola memiliki luas permukaan terkecil dari semua permukaan yang membungkus volume tertentu, dan melingkupi volume terbesar di antara semua permukaan tertutup dengan luas permukaan tertentu.[8] Karenanya bola muncul di alam: misalnya, gelembung dan tetesan air kecil secara kasar berbentuk bola karena tegangan permukaan secara lokal meminimalkan luas permukaan.

Luas permukaan relatif terhadap massa bola disebut luas permukaan spesifik dan dapat dinyatakan dari persamaan yang dinyatakan di atas sebagai

 

di mana ρ adalah kepadatan (rasio massa terhadap volume).

Volume

sunting

Volume pada bola yaitu:

 

Pada setiap   yang diberikan, volume tambahan ( ) sama dengan produk dari luas penampang disk pada   dan ketebalannya ( ):

 

Volume total adalah penjumlahan dari semua volume tambahan:

 

Dalam batas ketika   mendekati nol,[7] persamaan ini menjadi:

 

Pada setiap   yang diberikan, segitiga siku-siku menghubungkan  ,   dan   ke titik asal; karenanya, dengan menerapkan Teorema Pythagoras akan menghasilkan:

 

Menggunakan substitusi ini memberi

 

yang dapat dievaluasi untuk memberikan hasilnya

 

Rumus alternatif ditemukan menggunakan koordinat bola , dengan elemen volume

 

begitu

 

Untuk tujuan paling praktis, volume di dalam bola yang tertulis dalam kubus dapat diperkirakan sekitar 52,4% dari volume kubus, karena  , di mana   adalah diameter bola dan juga panjang sisi kubus dan  . Sebagai contoh, bola dengan diameter 1 m memiliki 52,4% volume kubus dengan panjang tepi 1 m, atau sekitar 0,524 m3

Kurva pada bola

sunting
 
Bagian bidang dari sebuah bola: 1 lingkaran
 
Perpotongan koaksial bola dan silinder: 2 lingkaran

Lingkaran

sunting
  • Perpotongan bola dan bidang adalah lingkaran, titik atau kosong.

Dalam kasus lingkaran, lingkaran tersebut dapat dijelaskan dengan persamaan parametrik  : lihat penampang bidang dari ellipsoid.

Namun permukaan yang lebih rumit juga dapat memotong sebuah bola dalam lingkaran:

  • Perpotongan bola yang tidak kosong dengan permukaan revolusi, porosnya berisi pusat bola yaitu koaksial yang terdiri dari lingkaran dan/atau titik.

Diagram menunjukkan kasus, dimana perpotongan tabung dan bola terdiri dari dua lingkaran. Jika jari-jari tabung sama dengan jari-jari bola, perpotongannya menjadi satu lingkaran, dimana kedua permukaan bersinggungan.

Dalam kasus sferoid dengan pusat dan sumbu utama yang sama dengan bola, persimpangan akan terdiri dari dua titik (simpul), dimana permukaannya bersinggungan.

Kurva Clelia

sunting
 
spiral bulat dengan  

Jika bola dijelaskan dengan wakilan parametrik

 

maka akan mendapat kurva Clelia, jika sudut-sudutnya dihubungkan dengan persamaan  

Kasus khususnya adalah: kurva Viviani ( ) dan spiral bola ( ), sebagai contohnya spiral Seiffert.

Loksodrom

sunting
 
Loxodrome

Dalam navigasi, loksodrom adalah busur yang melintasi semua meridian dari garis bujur pada sudut yang sama. Garis Rhumb bukanlah spiral bola. Tidak ada hubungan sederhana antara sudut   dan  .

Persimpangan bola dengan permukaan yang umum

sunting
 
Tabung bola persimpangan umum

Jika sebuah bola berpotongan dengan permukaan lain, mungkin ada kurva bola yang lebih rumit.

Contoh
bola-tabung

Perpotongan bola dengan persamaan   dan tabung dengan persamaan   bukan hanya satu atau dua lingkaran. Ini adalah solusi dari sistem persamaan non linear

 
 

lihat kurva implisit dan diagram

Sifat geometris

sunting

Bola secara unik ditentukan oleh empat titik yang bukan koplanar. Secara lebih umum, bola secara unik ditentukan oleh empat kondisi seperti melewati suatu titik, bersinggungan dengan bidang, dan lain-lain.[9] Sifat ini analog dengan properti bahwa tiga titik non-kollinear menentukan lingkaran unik dalam sebuah bidang.

Maka, sebuah bola unik ditentukan oleh sebuah lingkaran dan sebuah titik yang tidak berada di bidang lingkaran itu.

Dengan memeriksa solusi umum dari persamaan dua bola, dapat dilihat bahwa dua bola berpotongan dalam satu lingkaran dan bidang yang mengandung lingkaran itu disebut bidang radikal dari bola berpotongan.[10] Meskipun bidang radikal adalah bidang riil, lingkaran mungkin imajiner yaitu bola tidak memiliki titik yang sama atau terdiri dari satu titik sebagai bola bersinggungan pada titik itu.[11]

Sudut antara dua bola pada titik perpotongan sebenarnya adalah sudut dihedral yang ditentukan oleh bidang bersinggungan dengan bola pada titik tersebut. Dua bola berpotongan pada sudut yang sama di semua titik perpotongan lingkaran.[12] Potongan pada sudut siku-siku adalah ortogonal jika dan hanya jika kuadrat jarak antara pusatnya sama dengan jumlah kuadrat jari-jarinya.[2]

Pensil bola

sunting

Jika   dan  adalah persamaan dari dua bidang yang berbeda

 

juga persamaan bola untuk nilai arbitrer dari parameter   dan  . Himpunan semua bola memenuhi persamaan ini disebut pensil bola yang ditentukan oleh dua bola asli. Dalam definisi ini bola dijadikan menjadi bidang (jari-jari tak hingga, berpusat pada tak hingga) dan jika kedua bola asli adalah bidang maka semua bidang pensil adalah bidang, jika tidak, hanya ada satu bidang (bidang akar) dalam pensil.[2]

Generalisasi

sunting

Dimensi

sunting

Bola dapat digeneralisasikan ke ruang dengan jumlah dimensi berapa pun. Untuk bilangan asli  , sebuah " -bola," sering kali ditulis sebagai  , adalah titik himpunan dalam (dimensi-( )). Ruang Euklides yang berada pada jarak tetap   dari titik pusat ruang itu, dimana  , seperti sebelumnya, adalah bilangan riil positif. Khususnya:

  •  : bola 0 adalah sepasang titik akhir dari sebuah interval   dari garis sebenarnya
  •  : 1 bola adalah lingkaran dengan jari-jari  
  •  : 2-bola adalah bola biasa
  •  : 3-bola adalah bola dalam ruang Euclidean 4-dimensi.

Bola untuk   terkadang disebut hiperbola.

 -bola dengan radius unit yang berpusat di titik asal dilambangkan   dan sering disebut sebagai  -bola. Perhatikan bahwa bola biasa adalah bola 2, karena permukaannya 2 dimensi yang tertanam dalam ruang 3 dimensi.

Luas permukaan unit ( )-bola adalah

 

dimana   adalah fungsi gamma Euler.

Ekspresi lain untuk luas permukaan adalah

 

dan volume adalah kali luas permukaan   atau

 

Rumus rekursif umum juga ada untuk volume dari n-bola.

Ruang metrik

sunting

Secara lebih umum, dalam ruang metrik  , bola pusat   dan jari-jari   adalah titik himpunan   sedemikian rupa maka  .

Jika pusatnya adalah titik dibedakan yang dianggap sebagai asal dari  , seperti dalam ruang norma, itu tidak disebutkan dalam definisi dan notasi. Hal yang sama berlaku untuk jari-jari jika dianggap sama dengan satu, seperti dalam kasus bola unit.

Tidak dengan bola, bahkan sebuah bola besar dapat berupa himpunan kosong. Misalnya, dalam   dengan metrik Eullides, radius radius   tidak kosong hanya jika   bisa ditulis sebagai jumlah dari   kuadrat dari bilangan bulat.

Geometri bola

sunting
 
Lingkaran besar pada bola

Elemen dasar geometri bidang Euclidean adalah titik dan garis. Di bola, titik didefinisikan dalam arti biasa. Analog dari "garis" adalah geodesik, yang merupakan lingkaran besar; ciri utama dari lingkaran besar adalah bahwa bidang yang berisi semua titiknya juga melewati pusat bola. Mengukur dengan panjang busur menunjukkan bahwa jalur terpendek antara dua titik yang terletak di bola adalah segmen yang lebih pendek dari lingkaran besar yang mencakup titik-titik tersebut.

Banyak teorema dari geometri klasik juga berlaku untuk geometri bola, tetapi tidak semua melakukannya karena bola gagal memenuhi beberapa postulat geometri klasik, termasuk postulat paralel. Dalam trigonometri bola, sudut didefinisikan antara lingkaran besar. Trigonometri bola berbeda dari trigonometri biasa dalam banyak hal. Misalnya, jumlah sudut interior segitiga bulat selalu melebihi 180 derajat. Juga, dua segitiga bundar yang serupa adalah kongruen.

Lokus jumlah konstan

sunting

Lokus titik dalam ruang sedemikian rupa sehingga jumlah ke   pangkat jarak   ke simpul dari padatan Platonis   dengan sirkumradius   konstan adalah sebuah bola, jika

 ,

yang pusatnya berada di pusat  .[13]

Nilai dari   bergantung pada jumlah simpul   dari padatan Platonis dan sama:

  untuk tetrahedron reguler,

  untuk oktahedron dan kubus,

  untuk ikosahedron dan dodekahedron.

Gambar

sunting

Bagian

sunting

Lihat pula

sunting

Catatan dan referensi

sunting

Catatan

sunting

Bagian ini kosong

Referensi

sunting
  1. ^ a b Albert 2016, hal. 54.
  2. ^ a b c Woods 1961, p. 266.
  3. ^ (Kreyszig 1972, hlm. 342).
  4. ^ Albert 2016, p. 60.
  5. ^ (Inggris) Weisstein, Eric W. "Sphere". MathWorld. 
  6. ^ Steinhaus 1969, p. 221.
  7. ^ a b E.J. Borowski; J.M. Borwein (1989). Collins Dictionary of Mathematics. hlm. 141, 149. ISBN 978-0-00-434347-1. 
  8. ^ Osserman, Robert (1978). "The isoperimetric inequality". Bulletin of the American Mathematical Society. 84: 1187. Diakses tanggal 14 December 2019. 
  9. ^ Albert 2016, p. 55.
  10. ^ Albert 2016, hal. 57.
  11. ^ Woods 1961, hal. 267.
  12. ^ Albert 2016, p. 58.
  13. ^ Meskhishvili, Mamuka (2020). "Cyclic Averages of Regular Polygons and Platonic Solids". Communications in Mathematics and Applications. 11: 335–355. 
  14. ^ New Scientist | Technology | Roundest objects in the world created.

Bacaan lebih lanjut

sunting

Pranala luar

sunting